Bonjour cher lecteur,
Le récent épisode de neige et de verglas que nous avons connu a mis en lumière une question cruciale : les pneumatiques les plus larges offrent-ils la meilleure adhérence ?
Notre cher oncle nous a rapporté avoir entendu un journaliste "spécialisé" révéler ce qui a tout l'air d'un paradoxe : sur une route glissante, plus un pneumatique est large, moins il adhère. D'un point de vue purement intuitif, voilà une affirmation déconcertante. Nous avons creusé la question. Et à l'issue de l'exercice, nous avons réalisé que nous avions là un splendide exemple de travail d'ingénieur - très simple dans les notions qu'il utilise, mais puissamment représentatif.
Allons-y !
Il y a deux facteurs physiques qui interviennent dans le phénomène d' "adhérence" : le frottement (résistance au glissement entre deux surfaces de contact) et l' "effet ventouse" (qui dit bien ce qu'il veut dire).
Notre intuition nous dit que l'un et l'autre facteurs sont proportionnels à deux grandeurs : la pression exercée par le pneu sur la chaussée (plus j'appuie, plus j'adhère) et la surface de contact pneu-chaussée (plus il y a de contact, plus il y a de frottement) (1).
Notez que l'idée-clé est l'hypothèse de proportionnalité.
La pression Pr est égale au poids P rapporté à la surface de contact S : Pr = P/S
Si l'on assimile l'adhérence à une force F, on écrit, fort de notre supposition (1) :
F = k1 x Pr + k2 x S
où k1 et k2 sont des facteurs positifs de proportionnalité. Ils dépendent de tout un tas de paramètres (état des surfaces de contact, humidité, etc.) compliqués à quantifier, mais pas de S (c'est tout ce qui nous intéressera pour notre exercice).
Ce qui donne :
F = k1 x P/S + k2 x S
A ce stade une chose intéressante apparaît : l'adhérence, ou force F, dépend de deux termes qui évoluent contradictoirement avec la surface de contact S :
le terme k1 x P /S va diminuer quand S va augmenter
alors que k2 x S va augmenter avec S
Comment, au final, F va donc se comporter en fonction de S ?
Le journaliste spécialisé a dit que c'était très simple : plus S augmente, plus F diminue. Peut-être a-t-il tracé la courbe d'évolution de F en fonction de S ?
Nous en doutons. Quoi qu'il en soit nous ferons l'économie de ce procédé fastidieux (et d'une pertinence limitée) grâce aux mathématiques.
Nous avons ici ce qui se nomme en mathématiques une fonction : F est une fonction de S.
L'étude d'une fonction passe par l'étude de sa fonction dérivée. Très simplement, la fonction dérivée donne la valeur de la pente de la tangente en tout point de la courbe. Cette pente est positive si la courbe grimpe, elle est négative si la courbe descend, elle est nulle si la courbe est plate.
Résumons en d'autres termes : si la fonction est croissante (décroissante), sa dérivée est positive (négative); si la fonction est "plate", la dérivée est nulle.
Nous avons donc la fonction de S : F = k1 x P/S + k2 x S
La dérivée de cette fonction de S est F' = -k1xP/S2 + k2 (ici vous devez me faire confiance, cher lecteur oublieux de vos cours de maths de première).
Bien. Rappelez-vous que c'est le signe de cette dérivée qui nous intéresse. Or on peut voir immédiatement :
F' est négatif quand S est proche de zéro (infiniment petit) et positif quand S est très grand (infiniment grand) : entre ces deux extrêmes F' est nulle pour la valeur de S = SL = racine carrée(k1xP/k2).
Traduction : la fonction F est décroissante lorsque S est compris entre 0 et SL , puis croissante lorsque S est supérieure à SL.
Ce qui signifie enfin, très concrètement, pour la question qui nous intéresse : NON, l'adhérence ne diminue pas toujours avec l'augmentation de la largeur des pneumatiques.
(courbe Force Frottement FF (adhérence) en fonction de surface de contact S)
Cela n'est vrai que si la surface de contact S est inférieure à une valeur limite SL. Passé cette valeur limite, l'adhérence augmente avec la largeur du pneu.
Les considérations touchant à l'état de la chaussée et du pneumatique sont prises en compte, pour mémoire, via les coefficients k1 et k2 indépendant de S.
Bien à vous,
R.Willard
